\part{Généralités sur les noyaux -- Radioactivité}
\section{Introduction}
\subsection{L'énergie de la matière}

Matière solide : énergie \og gelée \fg{} car $E = m c ^{2}$
Dans 1 kg de matière on a $E$ = 900 milliards de milliards de Joules.
C'est l'équivalent de la consommation totale d'énergie en France pendant trois jours.

\paragraph{}
{\small
\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline
Domaine & Chimie 		&	Physique nucléaire	&	Physique des hautes énergies \\
\hline
Ordre de grandeur & $\approx eV$	&	$\approx MeV$		&	$\approx GeV$ \\
\hline
Liaisons concernées & électrons-noyaux &protons-neutrons & entre quarks \\
\hline
\end{tabular}
}

\paragraph{}

\begin{description}
\item[Chimie :] brûler du pétrole, c'est casser les liaisons entre les molécules. L'énergie de liaison entre molécules est libérée. Le défaut de masse est très faible et représente $\approx 10^{-7} \%$ de la masse de la molécule.
\item[Physique nucléaire : ] énergie de liaison entre protons et neutrons. L'énergie récupérée représente à peu près 1\% de la masse du noyau.
10 millions de fois plus que pour la simple combustion.
\end{description}

\paragraph{Physique des hautes énergies : liaisons entre quarks}
\begin{description}
\item[Quark up (u) :]$\frac{2}{3}$ e
\item[Quark down (d) :] $-\frac{1}{3}$ e
\item[Neutron :] udd
\item[Proton :] uud
\end{description}

\subsection{Interactions élémentaires}

Les forces qui lient entre elles les particules sont appelées les \emph{interactions élémentaires}. Elles sont au nombre de quatre :

\begin{description}
\item[interaction gravitationnelle :] en $\frac{1}{r^{2}}$, portée infinie. Une particule élémentaire interviendrait : le graviton, qui serait le vecteur de l'information, et qui aurait une masse proche de 0, sans charge (indétectable ?).

\item[interaction électromagnétique :] de portée infinie (phénomènes chimiques, électriques...) Son vecteur est le photon, de masse nulle.

\item[interaction faible :] de courte portée, elle est peu observable au quotidien, étrangère à nos sens.
Elle explique pourquoi un neutron peut se transformer en proton (radioactivité $\beta ^{-}$).
Ses vecteurs sont les bosons (lourds).

\item[interaction forte :] lien entre les protons et les neutrons dans le noyau. Sa portée est très courte ($\approx 10^{-15}$ m).
Ses vecteurs sont les mésons ($\approx 300 \times m_{e^{-}}$).
\end{description}

\section{Structure du noyau -- Dimension}
\subsection{Structure de l'atome}
\subsubsection{Description}

L'atome est caractérisé par le symbole chimique $X$, il contient $Z$ électrons, $Z$ variant de 1 à 92 dans la nature.
Ce sont les $Z$ électrons qui donnent à l'atome ses propriétés chimiques.

\begin{description}
\item[Taille]
$\approx 10^{-10}$ m

\item[Masse de l'électron]
$m_{e^{-}} = 9,1.10^{-31}$ kg

\item[Taille du noyau]
$10^{-15}$ à $10^{-14}$ m

\item[Densité dun noyau]
$\approx$ 100 000 fois celle de l'atome.
\end{description}

\subsubsection{Nucléons}
\paragraph{Protons}
Dans un noyau, il y a $Z$ protons (l'atome est électriquement neutre).
Le proton a été mis en évidence par Blackett en 1926.

$Z$ est appelé \emph{numéro atomique}.

\paragraph{Neutrons}
Il y a aussi dans un atome $N$ neutrons.
Le nombre $A = Z + N$ est appelé le \emph{nombre de masse}.

Neutrons et protons sont appeles les \emph{nucléons}.

Représentation : $ \n{X}{A}{Z} $.

\paragraph{Remarques}
\begin{itemize}
\item
Écrire $Z$ est souvent superflu car l'information se retrouve dans $X$.
\item
En dehors du noyau, le proton a une durée de vie infinie.
\item
En dehors du noyau, le neutron a une durée de vie de 12 minutes.
\end{itemize}

\subsection{Isotopes}
\paragraph{}

Si on a le même $Z$ et des $A$ différents, il s'agit d'\emph{isotopes}
qui ont les mêmes propriétés chimiques mais des propriétés nucléaires différentes.

\paragraph{Exemple}
\begin{itemize}
\item
$\n{H}{1}{1}$ : un proton, aucun neutron : l'Hydrgène
\item
$\n{H}{2}{1}$ : un proton, un neutron  : le Deutérium
\item
$\n{H}{3}{1}$ : un proton, deux neutrons : le Tritium (instable)
\end{itemize}

\subsection{Unités}
\subsubsection{Unité de masse atomique}
\paragraph{}

La valeur des masses est petite. On utilise l'unité de masse atomique (u ou uma).

1 u = $\frac{1}{12}$ de la masse d'un atome de Carbone 12.

D'où 1 u = 1,660'538'782.$10^{-27}$ kg

\subsubsection{Électron-Volt}
\paragraph{}

Calculons l'énergie associée à cette masse :

$E= 1,66.10^{-27} \times (3.10^{8})^{2} = 1,492.10^{-10}$ J = 931,5 MeV.

On exprime souvent les masses en MeV (abus de langage, en fait, $\frac{MeV}{c^{2}}$).
On a :
1 u = 931,5 $MeV/c^2$.

\paragraph{Exemples}
\begin{itemize}
\item
$m_{e} =$ 0,000'548'58 u = 0,511 $MeV/c^{2}$
\item
$m_{p}$ = 1,007'276 u = 938,272 3 $MeV/c^{2}$
\item
$m_{n}$ = 1,000'866 5 u = 939,565 6 $MeV/c^{2}$
\end{itemize}

\subsection{Volume et masse}
\begin{itemize}
\item
La masse du neutron $m_{n}$ est légèrement supérieure à celle du proton.
\item
Un neutron $n$ va pouvoir se désintégrer en un proton + $e^{-}$ + ...

La différence de masse est 2,53 fois celle de l'$e^{-}$ : radioactivité $\beta^{-}$.
\end{itemize}

\paragraph{Volume}

En première approximation, le noyau est sphérique. Soit $R_{0}$ le rayon du proton :
$V_{0} \approx \frac{4}{3} \pi R_{0}^{3} $.

Pour les autres noyaux, le volume est proportionnel au nombre de masse $A$.

$ V = \frac{4}{3} \pi R ^{3} = A V_{0} = A  \frac{4}{3} \pi R_{0} ^{3} $

D'où 
$$ R \approx A^{\frac{1}{3}} R_{0} $$
où 1,07 fm $< R_{0} < $ 1,5 fm.

\paragraph{Masse volumique}

$$ \rho \approx \frac{ M_{n \textrm{ ou } p} }{\frac{4}{3} \pi R_{0}^{3} } $$

La masse volumique est constante pour tous les noyaux : on a 
$ \rho \approx 10^{17} kg/m^{3}$.

\subsection{Énergie de liaison}
\subsubsection{Définition}

L'énergie de liaison est le \og ciment \fg{} des nucléons à l'intérieur du noyau.

Soit M(A,Z) la masse du noyau $\n{X}{A}{Z} $.
En notant $m_{p}$ et $m_{n}$ masses dun proton et du neutron libres, on a :

$$ M(A,Z) < Z m_{p} + (A-Z)m_{n} $$ 

La différence de masse se retrouve alors dans l'énergie de liaison.

\subsubsection{Défaut de masse et énergie de liaison}

On définit le \emph{défaut de masse} par :

$$\D M(A,Z) = Z m_{p} + (A-Z)m_{n} - M(A,Z) $$

Alors, l'\emph{énergie de liaison} du noyau s'écrit :

$$E_{l}(A,Z) = \D M(A,Z) c^{2} = [ Z m_{p} + (A-Z)m_{n} - M(A,Z) ] c^{2} $$

\paragraph{Exemple : le deutérium $_{2}^{1}H$}
M(2,1) = 2,013553 u

$m_{p} + m_{n} =$  2,015941 u

$\D M(2,1)$ = 0,002388 u = 2,22 $\frac{MeV}{c^{2}}$

$E_{l}(2,1) = \D M(2,1) c^{2} =$ 2,22 MeV

\subsection{Rapport El/A}
Plus il y a de nucléons, plus l'énergie de liaison est importante. Par exemple, celle de l'uranium 238 est de  1801,2 MeV.
On voit donc que l'énergie de liaison $E_{l}$ n'est pas un bon indicateur de la force de liaison des nucléons.

Le rapport $ \frac{ E_{l}(A,Z) }{A} $  est un meilleur indicateur : plus ce rapport est grand, plus la liaison a une énergie importante.

\paragraph{}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Noyau & $E_{l}/A$ (Mev/nucl) \\
\hline
\hline
$\n{H}{2}{1}$ & 1,11 \\
\hline
$\He$ &  7,08 \\
\hline
$\n{U}{238}{92}$ &7,57 \\
\hline
\end{tabular}


% « Binding energy curve - common isotopes FR » par Binding energy curve - common isotopes.svg : Fastfission, JWB et AutiwaDerivative Work : Eric Bajart — Binding energy curve - common isotopes.svg. Sous licence Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 via Wikimedia Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binding_energy_curve_-_common_isotopes_FR.svg#mediaviewer/File:Binding_energy_curve_-_common_isotopes_FR.svg

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{aston.eps}
\caption{Énergie de liaison des noyaux naturels stables}
\end{figure}

\subsection{Atome}
Soit $M_{at}(A,Z)$ la masse de l'atome $_{Z}^{A} X $.
On a $$M_{at} < M(A,Z) + Z m_{e} $$

On définit l'énergie de liaison de l'atome 
$$\epsilon_{l} = [ M(A,Z) + Z m_{e} - M_{at}(A,Z) ] c ^{2} $$

Pour le deutérium,$\epsilon_{l}$ = 13,6 eV.
On a $\frac{ \epsilon_{l} }{ E_{l} } = 6.10^{-6}$.
De même, pour l'uranium :  $\frac{ \epsilon_{l} }{ E_{l} } = 2,8.10^{-15}$

L'énergie de liaison des électrons est très inférieure à celles des nucléons.

\section{Radioactivité -- Modes de désintégration}
\subsection{Stabilité}
 \subsubsection{Principes}

 Un noyau donné recherche l'état le plus stable. Il faut pour cela environ autant de neutrons que de protons, voire un peu plus de neutrons.
 
 Si il y a trop de neutrons, ils vont se transformer en protons, et inversement.

\subsubsection{Exemples}
\paragraph{}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Élément 	& N  	&  Z	& stabilité & radioactivité \\
\hline
\hline
Hydrogène   &  0	&  1	& stable &  \\
\hline
Deutérium  & 1		& 1  & stable & \\
\hline
Tritium &2 & 1 & instable & $\beta^{-}$ cf. \ref{b-} \\
\hline
Helium (particule $\n{\alpha}{4}{2}$) &2 &2 & stable& \\
\hline
Lithium & 4 & 3 & stable & \\
\hline
Lithium & 5 & 3 & instable & $\beta^{-}$ cf. \ref{b-} \\
\hline

Béryllium & 3 & 4 & instable & CE\footnotemark cf. \ref{ce} \\
\hline
Béryllium & 4 & 4 & instable & $\n{\alpha}{4}{2}$ cf. \ref{a} \\
\hline
Béryllium & 5 & 4 & stable & \\
\hline
Bore & 4 & 5 & instable & $\beta^{+} $ cf. \ref{b+} \\
\hline
\end{tabular}
\footnotetext{Capture électronique}

\subsection{Radioactivité $\beta^{-}$ }
\label{b-}
À cause d'un excès de neutrons, le tritium est radioactif. Un neutron va se transformer en proton :

$$ \n{H}{3}{1} \ra \n{He}{3}{2} + \n{e^{-}}{0}{-1} + \aneu$$
$\aneu$ : antineutrino, cf. \ref{am}.

Il s'agit de radioactivité $\beta^{-}$ : il y a émission d'un $e^{-}$.

\subsection{Capture Électronique}
\label{ce}
Dans le cas par exemple du $\n{Be}{7}{4}$, il y a désintégration par capture électronique (CE) :

$$ \n{Be}{7}{4} + \n{e^{-}}{0}{-1} \ra ^{7}_{3}Li + \neu $$
($\nu$ : neutrino)

\subsubsection{Matière et Antimatière}
Hypothèse actuelle : lors du Big Bang, matière et anti-matière étaient présents en quantité égales. À chaque particule de matière était associée une particule d'antimatière, de même masse mais de charge opposée.

\paragraph{}
\label{am}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
matière & antimatière \\
\hline
\hline
proton & antiproton \\
\hline
électron $e^{-}$  & positron $e^{+}$ \\
\hline
photon & photon \\
 \hline
graviton & graviton \\
\hline
neutrino $\nu$ & antineutrino $\overline{\nu}$ \\
\hline
\end{tabular}

\paragraph{}
Pourquoi cette rareté actuellement ? Non symétrie de l'Univers ? Cela fait l'objet de recherches.

\subsection{Radioactivité $\alpha$}
\label{a}
Par exemple, dans le cas du  Béryllium $\n{Be}{8}{4}$. Il y a émission d'un particule $\alpha$, autre nom de l'hélium 4 : $\He$.

$$ \n{Be}{8}{4} \ra \He + \He $$

\subsection{Radioactivité $\beta^{+}$}
\label{b+}

Le Bore $\n{B}{8}{5}$ est instable, émission d'un positron (même masse que l'électron, mais charge positive, cf. \ref{am}), et transformation d'un proton en un neutron :

$$ \n{B}{8}{5} \ra \n{Be}{8}{4}  + \n{e^{+}}{0}{1} + \neu$$

Ensuite le $\n{Be}{8}{4}$ va se désintégrer (cf. \ref{a}).

\subsection{Bilan}
\begin{tabular}{c|c}
\label{bilan}
Radioactivité & Forme de la réaction \\
\hline
\\

$\beta ^{-} $ : excès de neutrons &

 $ \n{X}{A}{Z} \ra \n{Y}{A}{Z+1} + \n{e^{-}}{0}{-1} + \aneu $  \\

\\

\hline

\\

$\beta ^{+}$ : excès de protons&

$ \n{X}{A}{Z} \ra \n{Y}{A}{Z-1} + \n{e^{+}}{0}{1} + \neu $ \\

\\

\hline


\\

Capture électronique &

$ \n{X}{A}{Z} + \n{e^{-}}{0}{-1} \ra \n{Y}{A}{Z-1} + \neu $ \\

\\

\hline

\\

$\alpha$ &

$ \n{X}{A}{Z} \ra \n{Y}{A-4}{Z-2} + \He $ \\

\\

\end{tabular}

\subsection{Désintégration $\alpha$ et énergie}
\subsubsection{Énergie libérée}

Elle est de :
$$ Q = \left[ - M(4,2) - M(A-4,Z-2) + M(A,Z) \right] c ^{2} $$

Pour que la désintégration puisse se faire naturellement, il faut que $Q > 0$.


%Schéma de désintégration de l'$\n{U}{238}{92}$

\subsubsection{Évaluation de l'énergie cinétique}

Expérimentalement, l'énergie cinétique des particules $\n{\alpha}{4}{2}$, noté  $T_{\alpha} = E_{c_{\alpha}}$ est comprise entre 2 MeV et 9 MeV.

Ceci est faible devant l'énergie de masse des $\n{\alpha}{4}{2}$ : $E_{0} \approx$ 4 000 MeV.

On peut donc utiliser :
$$E_{c_{\alpha}} = \frac{1}{2} m_{\alpha} v_{\alpha}^{2} $$

Si les particules $\n{\alpha}{4}{2}$ et $Y$ (cf. \ref{bilan}) sont dans leur état fondamental, alors :

$$ Q =E_{c_{\alpha}} + E_{c_{Y}}$$

De plus, on suppose $X$ au repos avant la désintégration.
En appliquant la loi de conservation de la quantité de mouvement :

$$ M_{Y} v_{Y} = M_{\alpha} v_{\alpha} $$

$$ E_{c_{Y}} = Q - E_{c_{\alpha}} = Q - \frac{1}{2} M_{\alpha} v_{\alpha}^{2} $$

$$ E_{c_{Y}} = Q - \frac{1}{2} M_{\alpha} (\frac{M_{Y}}{M_{\alpha}})^{2} v_{Y}^{2}$$

$$ E_{c_{Y}} =  Q - \frac{1}{2}  \frac{M_{Y}^{2}}{M_{\alpha}} v_{Y}^{2}$$

$$E_{c_{Y}} =  Q -  \frac{M_{Y}}{M_{\alpha}} E_{c_{Y}}$$

$$ E_{c_{Y}} =  \frac{M_{Y}}{M_{\alpha} + M_{Y}} Q $$

\paragraph{}

Ainsi, si X est un noyau lourd, $M_{Y} \gg M_{\alpha} $ donc
$E_{c_{Y}} \approx 0 $ et $Q \approx E_{c_{\alpha}} $.

%figure3
%observation d'une raie $\n{\alpha}{4}{2}$.


\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=9cm]{stable.png}
%« Isotopes and half-life ». Sous licence Public domain via Wikimedia Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Isotopes_and_half-life.PNG#mediaviewer/File:Isotopes_and_half-life.PNG
\caption{\label{stable} Isotopes stables (en rouge)}
\end{figure}

Pour A grand, pour avoir un noyau stable, il faut que N soit légèrement supérieur à Z (cf. figure \ref{stable}).

\subsection{Loi de décroissance}
\subsubsection{Loi générale de désintégration}
\paragraph{}

À $t=0$, on considère $N_{0}$ noyaux radioactifs.

Les noyaux se transforment, donc le nombre $N$ de noyaux diminue.

On cherche à évaluer la variation $\deriv N$ de noyaux sur un temps très court $\deriv t$. On obtient :

$$ \deriv N = - \lambda N \deriv t $$

où $\lambda$ est la \emph{constante radioactive}, typique du noyau radioactif considéré, d'unité la $s^{-1}$.

Ainsi :

$$ \frac{\deriv N}{\deriv t } = - \lambda N $$

Donc $$\boxed{ N = N_{0} \mathrm{e}^{-\lambda t} }$$

On définit la période $T$ telle que :
$$ N(T) = \frac{N_{0}}{2} = N_{0} \mathrm{e}^{-\lambda T} $$

Donc $$ \boxed{ T = \frac{\mathrm{ln}(2)}{\lambda} }$$

\paragraph{Remarque}

$N(t) = N_{0} \times 2 ^{-\frac{t}{T}} $

\paragraph{Radioactivité} On dit qu'un noyau est radioactif quand on peut mesurer sa période, c'est-à-dire quand :

$$ 10^{-16} s < T < 10^{30} s $$

\paragraph{Activité}


L'activité $\A$ représente le nombre de désintégrations par unité de temps.
%% A en cursif
$$ \A = \lambda N $$
Donc
$\A = \left| \frac{\deriv N}{\deriv T} \right| $ dans le cas d'une seule population de noyaux radioactifs.

$$ \A(t) = \lambda N_{0} \textrm{e}^{-\lambda T} = A_{0} \textrm{e}^{-\lambda T} $$

\paragraph{Unités}
\begin{itemize}
\item
Le Becquerel, 1 Bq = 1 désintégration/s.

Unité peu appropriée aux mesures (corps humain, $\approx$ 8000 Bq)
\item
Le Curie. 1 Ci = $3,7.10^{10}$ Bq

Activité de 1kg de Radon 226 (T = 1620 ans)
\end{itemize}

\paragraph{Désintégrations multiples}

Pour un noyau radioactif, il peut y avoir plusieurs types de désintégrations possibles. Par exemple : 

\begin{center}
\begin{tabular}{c c c }
	& $\overset{\lambda 1}{\longrightarrow}$	& $Y_{1}$ \\
$X$& $\overset{\lambda 2}{\longrightarrow}$	& $Y_{2}$ \\
	& $\overset{\lambda 3}{\longrightarrow}$	& $Y_{3}$ \\
\end{tabular}
\end{center}

Alors $$ \lambda = \sum _{i} \lambda_{i} $$

et on appelle \emph{rapport d'embranchement} $a_{i} = \frac{\lambda_{i}}{\lambda}$.

\paragraph{Exemple : $^{221}_{86} Rn$}

\begin{center}
\begin{tabular}{c c c }
$^{221}_{86} Rn$ & $\overset{T_{1} = 1,89h}{\longrightarrow}$	& $^ {217}_{84} Po$ \\
	& $\overset{T_{2}=32,1min}{\longrightarrow}$	& $^{221}_{87} Fr$ \\
\end{tabular}
\end{center}

$\lambda_{1} = 1,02.10^{-4} s^{-1}$ 
et
$\lambda_{2} = 3,6.10^{-4} s^{-1}$ 

$\lambda = 4,62.10^{-4} s^{-1} $

$ T = $ 25 min

\subsubsection{Filiations radioactives (chaînes radioactives)}
\label{chaines}
$$ X_{1} \overset{\lambda 1}{\longrightarrow} X_{2} \overset{\lambda 2}{\longrightarrow} X_{3} $$

Chaîne radioactive à trois corps. $X_{3}$ est stable.

\paragraph{}

À $t=0$, on compte $N_{10}$ atomes de $X_{1}$, et aucuns de $X_{2}$ et de $X_{3}$.

\paragraph{Évolution}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{chaine.eps}
\caption{\label{chaine} $N_{1}$ en trait gras, $N_{2}$ en trait intermédiaire et $N_{3}$ en trait fin.}
\end{figure}

Que valent $N_{1}$, $N_{2}$ et $N_{3}$, $t$ secondes plus tard ?

$$ \frac{\deriv N_{1}}{\deriv t } = - \lambda_{1} N_{1} $$

d'où $$ N_{1}(t) = N_{1_{0}} \mathrm{e} ^{-\lambda_{1} t} $$

Pour $N_{2}$

$$ \frac{\deriv N_{2}}{\deriv t } = -\lambda_{2} N_{2} + \lambda_{1} N_{1} $$

  $$ \frac{\deriv N_{2}}{\deriv t } = -\lambda_{2} N_{2} + \lambda_{1} N_{1_{0}} \mathrm{e} ^{- \lambda_{1} t} $$
  
  D'où $$ N_{2}(t) = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}- \lambda_{1}} N_{1_{0}} (\mathrm{e} ^{-\lambda_{1} t} - \mathrm{e} ^{-\lambda_{2} t}) $$ 

Puis $\frac{\deriv N_{3}}{\deriv t} = \lambda_{2} N_{2} $

\paragraph{Autre méthode}

Au départ, $N_{1_{0}}$ noyaux.

$$ N_{1_{0}} = N_{1}(t) + N_{2}(t) + N_{3}(t) $$

 Ainsi $$N_{3}(t) =  N_{1_{0}} ( 1 - \mathrm{e}^{-\lambda_{1} t}) - \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}- \lambda_{2}} N_{1_{0}} (\mathrm{e} ^{-\lambda_{1} t} - \mathrm{e} ^{-\lambda_{2} t}) $$


\paragraph{Remarque}

$N_{1}$ est une fonction monotone décroissante.

$N_{3}$ est une fonction monotone croissante.

On se demande si $ \exists{} t_{max} \mathrm{ t.q } \frac{\deriv N_{2}}{\deriv t}(t_{max})= 0 $. Après résolution : 
$$ t_{max} = \frac{1}{\lambda_{2} - \lambda_{1}} \mathrm{ln}\left(\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}\right) $$

% figure 7 

On observe que pour $t = t_{max}$, $\A_{1} = \A_{2} $.

% figure 8 : tracé des activités

\paragraph{Remarque}
Cas particulier : $T_{1} \gg T_{2} $.
La cinétique de la chaîne radioactive est gouvernée par l'élément 1. Cf. figure \ref{c1}.
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{chainel2ggl1.eps}
\caption{\label{c1} Chaîne radioactive à trois éléments. $T_{1}\gg T_{2}$. $N_{1}$ en trait gras, $N_{2}$ en trait intermédiaire et $N_{3}$ en trait fin.}
\end{figure}

Si $T_{2} \gg T_{1}$ c'est l'élément 2 qui gouverne la chaîne. Cf. figure \ref{c2}.
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{chainel1ggl2.eps}
\caption{\label{c2}Chaîne radioactive à trois éléments. $T_{2}\gg T_{1}$. $N_{1}$ en trait gras, $N_{2}$ en trait intermédiaire et $N_{3}$ en trait fin.}
\end{figure}

\subsection{Datation par carbone 14}
\subsubsection{Principe}
\paragraph{Origine du $\n{C}{14}{}$}

Le $\n{C}{14}{}$ est radioactif, de période 5730 ans. Il provient du rayonnement cosmique selon la réaction : 

$$ \n{n}{1}{0}+ \n{N}{14}{7} \ra \n{C}{14}{6} + \n{H}{1}{1} $$

$$ \n{C}{14}{6} \ra \n{N}{14}{7}  + \n{e^{-}}{0}{-1} + \aneu $$
% barre sur le nu

\paragraph{Principe de la datation}

On observe, dans l'atmosphère à  l'équilibre un rapport constant $\frac{\n{C}{14}{}}{\n{C}{12}{}} \approx 1,2.10^{-12} $

Les plantes, les êtres vivants absorbent des molécules de $CO_{2}$ avec
$\frac{\n{C}{14}{}O_{2}}{\n{C}{12}{}O_{2}} \approx 1,2.10^{-12} 	$

À la mort de l'échantillon, l'absorption de $CO_{2}$ s'arrête.
Alors le $\n{C}{14}{} $ se désintègre, sa quantité diminue.
Le rapport  $\frac{\n{C}{14}{}}{\n{C}{12}{}} $ diminue donc dans l'échantillon.

\paragraph{Calcul}
Un gramme de carbone naturel a une activité de : 
$A_{0} = \lambda N = \frac{0,963}{5730\times365,25\times24\times3600}\times \frac{12.10^{-3}}{10}\times6,02.10^{23}\times 1,2^{-12} $,
soit
$A_{0} = 0,23$ Bq = 13,8 désintégrations/min.

On pose $t=0$ à la mort de l'échantillon. Alors $A(t) = A_{0} \mathrm{e}^{-\lambda t}$.
D'où $ t = \frac{1}{\lambda} \mathrm{ln}(\frac{A_{0}}{A}) $

Enfin on obtient
$\boxed{ t_{ans} = 19000 \log_{10} \frac{ A_{0}}{A(t)} }$

\paragraph{Inconvénients de la méthode}

hypothèse de la constance dans le temps du rapport $\frac{\n{C}{14}{} }{\n{C}{12}{}} = 1,2.10^{-12} $ (flux de neutrons dans l'atmosphère toujours à peu près le même).

Méthode vérifiée jusqu'à 9000 ans.

Fiabilité théorique : 40 000 ans.

\paragraph{Radioactivité naturelle : Potassium 40}

Ce potassium radioactif (radioactivité $\beta^{-}$) est présent dans nos os.

Le corps humain génère naturellement 100 rayonnements $\beta ^{-} $ par seconde et par kg

\subsubsection{Activation. Création de radioéléments artificiels}
%fig 1
$$ a + A \ra B^{*} + b$$

\begin{itemize}
\item
a : particules incidentes
\item
A : cible
\item
$n$ : nombre de noyaux $B^{*}$ radioactifs créés 
\item
$N$ : nombre de noyaux cibles $A$
\end{itemize}

\paragraph{Section efficace $\sigma$}

La section efficace $\sigma$ est la fraction de particules par $\text{m}^{2}$ qui réagit avec un noyau cible.
Elle correspond à une probabilité de réaction. Cette probabilité est de $\frac{\sigma}{S}$.


%fig 2

\paragraph{Ordre de grandeur}
Surface du disque qui représente la taille du noyau.

$$\sigma \approx \pi R_{0}^{2} A^{2/3}$$

Pour $A=50$, $\sigma = 10^{-24}\text{cm}^{2}$

Attention : $\sigma$ peut être très différent pour deux noyaux différents.

\paragraph{Le barn}

On définit une nouvelle unité : le barn.

$$ 1 \text{barn} = 10^{-24} \text{cm}^{2} $$

\paragraph{Évolution du nombre de noyaux cibles}

$$\frac{\deriv N}{\deriv t} = - \sigma \Phi N$$

$$ N(t) = N_{0} \mathrm{e} ^{ - \sigma \Phi t } $$

Soit $\lambda$ la constante de désintégration de $B^{*}$.

$$ \frac{\deriv n}{\deriv t} = + \sigma \Phi N - \lambda n$$

Cf. résultats sur les chaînes radioactives (\ref{chaines} page \pageref{chaines}).

$$ n(t) = \frac{\sigma \Phi N_{0}}{\lambda - \sigma \Phi}(\ex^{-\sigma \Phi t} - \ex^{-\lambda t }) $$

En général, $ N \approx N_{0}$  et $ T_{\lambda} \ll T_{\sigma \Phi} $ : il est beaucoup plus difficile de créer $B^{*}$ que pour $B^{*}$ de se désintégrer.

\paragraph{Activité}

$\A = \lambda n \approx \sigma \Phi N_{0} (1 - \ex^{- \lambda t}) $

%graphe de A

\paragraph{Exemples}

\begin{tabular}{c | c}
Élément radioactifs artificiels & période \\
\hline
Tritium & 12,3 ans \\
$\n{O}{15}{}$ (imagerie médicale) & 2 min \\
Cobalt 60 & 5,27 ans \\
Césium 137 (curiethérapie) & 30,2 ans \\
$\n{Pu}{239}{}$ (fission) & 24 100 ans \\
\end{tabular}

\part{Réactions nucléaires. Fission. Fusion}

\section{Introduction}

Réaction nucléaire : interaction entre deux noyaux, ou entre une particule et un noyau, ou entre deux particules.

Un des deux doit avoir suffisamment d'énergie pour initier la réaction.

\subsection{Expérience historique}

 Première réaction nucléaire : Rutherford en 1919. Bombardement de l'azote par des particules alpha.
 
 $$ \He + \n{N}{14}{7} \ra \n{O}{17}{8} + \n{H}{1}{1} $$

S'écrit aussi : $$ \n{N}{14}{} (\n{\alpha}{4}{2}, p) \n{O}{17}{} $$

\subsection{Énergie}

Une réaction peut être exothermique (énergie libérée) ou endothermique (énergie consommée).


$$ 1 + 2 \ra 3 + 4 $$
$$ Q = (M_{1} + M_{2} - M_{3} - M_{4}) c ^{2} $$

$ Q > 0 $ : réaction exothermique

$ Q < 0 $ : réaction endothermique

\paragraph{Exemple}
Fusion Deutérium-Tritium

$$ \n{H}{2}{1} + \n{H}{3}{1} \ra \He + \n{n}{1}{0}$$

$$ Q = (\Delta M) c ^{2} = \dots = - E_{l}(2,1) - E_{l}(3,1) + E_{l}(4,2) $$

$$ Q = -2,2 - 8,5 +28,3 = 17,6 MeV$$

Réaction exothermique : dégage de l'énergie.

\section{Lois de conservation}
\subsection{Conservation de la charge électrique}

$$Z_{1} + Z_{2} = Z_{3} + Z_{4}$$

\subsection{Conservation du nombre de nucléon}
(peut être faux pour les très hautes énergies)

$$ A_{1} + A_{2} = A_{3} + A_{4} $$

\subsection{Conservation de l'énergie}
(Souvent, pour les basses énergies, $T_{i} = \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} $ et $T_{i} \ll m_{i} c ^{2} $ )

$$ Q = T_{3} + T_{4} - T_{1} - T_{2} $$

\subsection{Conservation de la quantité de mouvement}
En considérant que la particule (2) est au repos : 
% les v sont des vecteurs avec des flèches

$$ m_{1} \vect{v_{1}} = m_{4}\vect{v_{4}} + m_{3}\vect{v_{3}} $$

\section{Fusion nucléaire}


\subsection{Premiers noyaux}

D'après la théorie, peu après le Big-Bang, les premiers noyaux se forment : ce sont des $\n{H}{1}{1} $.

\subsection{Cycle proton/proton}

La gravitation rapproche les protons : la barrière coulombienne est vaincue : il y a fusion des protons. Ce phénomène a lieu de nous jours dans les étoiles.

Globalement, le cycle proton/proton  donne :
$$ 4\n{p}{1}{0} \ra \He + 2\n{e^{+}}{0}{1} + 2 \neu $$

Pour le Soleil, ce cycle proton/proton durera 12 milliards d'années.

\paragraph{Remarques}

Si $M_{\textrm{étoile}} \approx 0,3 M_{\textrm{soleil}}$ alors cela durerait 800 milliards d'année.

Dans le Soleil, chaque seconde, 600 MT d'hydrogène fusionnent (transformées en He)

\subsection{Fusion de l'Hélium}

Si $M_{\textrm{étoile}} > 0,3 M_{\textrm{soleil}}$, la fusion de l'He commence.
La température est de $10^{8}$ K.

$$ \He + \He \ra \n{Be}{8}{4} + \gamma $$
(Le Béryllium émet ensuite deux particules $\n{\alpha}{4}{2}$)

$$\He + \n{Be}{8}{4} \ra \n{C}{12}{6} + \gamma$$

$$ \n{C}{12}{6} + \He \ra \n{O}{16}{8} + \gamma $$

Cela dure 200 millions d'années pour le Soleil.
Pour le Soleil, le processus de fusion s'arrêtera là.

\subsection{Évolutions possibles}

Si $M_{\textrm{étoile}} > 6 M_{\textrm{soleil}} $, le processus peut continuer (200 ans) :

$$ \n{C}{12}{6} + \n{C}{12}{6} \ra \n{Na}{23}{11} + \n{p}{1}{1} $$
$$ \ra \n{Ne}{20}{10} + \n{\alpha}{4}{2} $$
$$ \ra \n{Mg}{23}{12} + \n{n}{1}{0} $$

Fusion du $Ne$ donnant du $Mg$ ne dure qu'un an.

\subsection{Fusion de l'Oxygène}
La fusion de l'Oxygène donne du Si, P, S (5 mois)

+ $\n{\alpha}{4}{2}$, n $\ra$ Cl, Ar, K, Ca, Titane

\subsection{Fusion du Silicium}

Cela correspond aux derniers instants d'une étoile. La température est de 
T = 3 milliards de Kelvin

Ce processus dure $\approx$ 1 jour

$\n{Si}{28}{14}$ jusqu'à $\n{Fe}{26}{}$

Processus endothermique, effondrement de l'étoile (la gravitation l'emporte). Donne une supernova.  

\section{Fission nucléaire}
\subsection{Causes de la fission}

Les noyaux peuvent se casser :
\begin{itemize}
\item seuls, c'est la fission \textbf{spontanée} ;
\item à l'aide d'un neutron
(capture), c'est fission \textbf{induite}.
\end{itemize}

\paragraph{Fission spontanée} Pour $Z \geq 110$. N'existe plus naturellement sur Terre.

\subsection{Noyau fissible}

On appelle \emph{noyau fissible} un noyau qui conduit à une fission après capture d'un neutron thermique (l'énergie cinétique de ce neutron est faible).

Il en existe quatre :
\begin{itemize}
\item
$\n{U}{235}{92}$,
$T = 7.10^{8}$ ans (le seul naturel)
\item
$\n{U}{233}{92}$,
$T = 1,6.10^{5}$ ans
\item
$\n{Pu}{239}{94}$,
$T = 2,4.10^{4}$ ans
\item
$\n{Pu}{241}{94}$,
$T =14$ ans
\end{itemize}

$$ Q_{fission} \approx M(A,Z) - 2 M(\frac{A}{2}, \frac{Z}{2}) $$

\subsection{Noyau fertile}
C'est un noyau qui conduit à un noyau fissible artificiel, après capture d'un neutron.

\paragraph{Exemple}
$$ \n{U}{238}{92} + \n{n}{1}{0} \ra \n{U}{239}{92} $$

$$ \overset{\beta ^{-}}{\ra} \n{Np}{239}{93} + \n{e^{-}}{0}{-1} + \aneu $$

$$ \overset{\beta ^{-}}{\ra}  \n{Pu}{239}{94} $$

$Pu$ noyau fissible : on dit que $\n{U}{238}{92}$ est fertile.

\subsection{Fission de l'$\n{U}{235}{92}$}
\subsubsection{Forme des réactions}

$$ \n{U}{235}{92} + \n{n}{1}{0}\ra PF_{1} + PF_{2} + \textrm{énergie} + \textrm{neutrons} $$

Il existe 40 réactions possibles donnant deux PF (produits de fissions), sauf dans un cas sur 5000 qui en donne trois.

% graphe nombre de PF en fonction de A
% Pics à 95 et 140
\paragraph{}

PF : $80< A < 110$ (\og légers \fg{})

$125< A < 155$ (\og lourds \fg{})

\paragraph{}

Les PF se retrouvent au-dessus de la courbe de stabilité : radioactivité $\beta^{-}$.

\subsubsection{Exemples de produits de fission}
\begin{itemize}
\item
Iode $ \n{I}{131}{53} $, $T \approx$ 7 jours
\item
Césium  $ \n{Cs}{137}{55}$, $T \approx$ 30 ans
\item
Xénon $ \n{Xe}{135}{54}$, \og poison\fg{}{} car section efficace grande
\label{poisons}
\item
Samarium $\n{Sm}{149}{62}$, \og poison\fg{}, car idem
\end{itemize}

\subsubsection{Neutrons émis}
$$ \n{U}{235}{92} + \n{n}{1}{0}\ra PF_{1} + PF_{2} + \textrm{énergie} + \nu \times \n{n}{1}{0} $$

$\nu =$ 2 ou 3 neutrons émis par réaction

$\overline{\nu}=$ 2,416 neutrons par fission de $\n{U}{235}{92}$

Ce sont des neutron \og immédiats \fg{}{} ou \og prompts \fg{}{}.

\subsubsection{Neutrons retardés}

Il existe des neutrons dits \emph{retardés}  (proportion $6,5.10^{-3}$) qui proviennent des PF

\paragraph{Exemple}

$$\n{Br}{87}{35} \overset{\beta^{-}}{\longrightarrow} \n{Kr}{87}{36} \overset{\beta^{-}}{\longrightarrow} \n{Rb}{87}{37} \underset{30\%}{\overset{\beta^{-}}{\longrightarrow}} \n{Sr}{87}{38} $$

$$\n{Br}{87}{35} \underset{55s}{\overset{\beta^{-}}{\longrightarrow}} \n{Kr^{*}}{87}{36} $$

2\% de $\n{Kr^{*}}{87}{36} \ra  \n{Kr^{*}}{86}{36} + \n{n}{1}{0}$

 C'est un neutron retardé (émis 80s après la fission)
 
  En moyenne, pour tous les neutrons retardés, $\overline{\tau_{r}} =$ 13s (cf. exercice 1).
  
\subsubsection{Énergie libérée} $\approx$ 200 MeV/fission.

$3,1.10^{10}$ fissions/s pour une puissance de 1 W.

\part{Principe de fonctionnement d'un réacteur nucléaire}
\section{Réaction principale}

$$\n{U}{235}{92} + \n{n}{1}{0} \ra PF + \overline{\nu} \n{n}{1}{0}$$

$\overline{\nu}=2,416$

Pour obtenir la réaction (régime \emph{critique}), il faut que :

$$\frac{N_{\text{fissions}}}{N_{\text{neutrons}}} = \frac{1}{2,416} $$

\section{Neutrons}
\subsection{Classification des neutrons}

\begin{itemize}
\item
$ N_{\text{fissions}} = N_{f}$ : servent à l'entretien de la réaction, vont entraîner $N_{f}$ fissions.
\item
$N_{\text{capturés}} = N_{c} $ : interaction avec le combustible, mais sans fission, ou interaction avec les autres éléments : modérateur, poisons, ...
\item
$N_{p}$ : pertes, fuites à l'extérieur du réacteur.
\end{itemize}

Le nombre total de neutrons est :

$$N_{n} = N_{f} + N_{c} + N_{p} $$

$$\frac{N_{f}}{N_{c}} = \frac{N_{f}}{N_{n} - N_{f} - N_{p}} =
 \frac{\frac{N_{f}}{N_{n}}}{ 1  - \frac{N_{f}}{N_{n}}  - \frac{N_{p}}{ N_{n}}}
 \approx \frac{0,42}{1-0,42-\frac{N_{p}}{N_{n}}}
 \approx \frac{0,42}{0,58 -\frac{N_{p}}{N_{n}} }
 $$
 
 \subsection{Diminution des pertes}
\subsubsection{Masse critique}

 Pour diminuer les pertes, augmenter la taille du réacteur. Il existe une \textbf{masse critique} en dessous de laquelle la perte de neutrons est trop importante. Pour l'$\n{U}{235}{92}$ la masse critique est de 50kg.
 Pour $\n{U}{238}{92} +  \n{U}{235}{92}$ à 15\% : 600 kg.
 
 \subsubsection{Géométrie du réacteur}

 La géométrie idéale est la sphère. 
En réalité pour un réacteur le réacteur est de forme cylindrique, avec un rapport diamètre/hauteur optimisé.
 
\subsubsection{Objectif}
 
 Dans un réacteur : $ \frac{N_{p}}{N_{n}} \approx$ 10 à 15 \%.
 
 Donc $\boxed{ \frac{N_{f}}{N_{c}} \approx 1}$ : objectif à atteindre pour produire de l'énergie (entretenir la réaction).
 
\subsubsection{Moyens}

\paragraph{}
 
 Dans le cœur, les neutrons interagissent avec :
 
 \begin{tabular}{c | l }

\\					& --- captures $\to$ fissions (section efficace $\sigma_{f}$) \\
 $\n{U}{235}{92}$ 	&  \\
 					& --- captures stériles (section efficace $\prescript{5}{}{\sigma_{c}}$)\\
 \hline \\
					& --- captures fertiles (section efficace $\prescript{8}{}{\sigma_{c}}$, donne $Pu$) \\
$\n{U}{238}{92}$ 		& \\
					& --- fissions rapides (négligeables) \\
\end{tabular}
	
\paragraph{Première idée : neutrons rapides}

Il s'agit d'utiliser :
$U_{\text{naturels}} + N_{\text{fissions}}$ (rapides)
à 1 MeV. 
L'Uranium naturel est un mélange de 0,72\% de $\n{U}{235}{92}$ et 99,28\% de $\n{U}{238}{92}$.

On obtient alors :
\begin{itemize}
\item
$\prescript{8}{}{\sigma_{c}} = 0,1$ barn

\item
$\sigma_{f} = 1$ barn

\item
$\prescript{5}{}{\sigma_{c}} $ négligeable
\end{itemize}

 Mais $\frac{N_{f}}{N_{4}}=\frac{0,72 \sigma_{f}}{ 99,28 \prescript{8}{}{\sigma_{c}}} = 0,07$, ce qui est très loin de 1 : \textbf{pas de fonctionnement possible} (pas de \emph{divergence} possible)

\paragraph{Deuxième idée : neutrons thermiques}

On utilise cette fois des neutrons \emph{thermiques} (ralentis).
Les sections efficaces changent alors considérablement :

\begin{itemize}
\item
$\prescript{8}{}{\sigma_{c}} = 2,7$ barn
\item
$\sigma_{f} = 550$ barn
\item
$\prescript{5}{}{\sigma_{c}} = 100$ barn.
\end{itemize}

\subparagraph{Modérateur}

Nous avons besoin  d'un matériau pour ralentir les neutrons : un \emph{modérateur} : ile doit ralentir les neutrons tout en les absorbant le moins possible.
 
Ainsi $^{m}\sigma_{c}$ doit être faible.
 
 Le modérateur est soit liquide, soit solide, pour qu'il prenne le moins de volume possible à l'intérieur du réacteur.

On obtient alors :
 
 $\frac{N_{f}}{N_{c}} =
  \frac{\sigma_{f}^{5}N}{\prescript{5}{}{\sigma_{c}}^{5}N + \prescript{8}{}{\sigma_{c}}^{8}N +
  ^{m}\sigma_{c}^{m}R_{m}  } $
où  
  $\prescript{5}{}{N} $ : proportion de matière $\n{U}{235}{92}$
et 
  $R_{m}$ : rapport de modération $= \frac{\text{volume modérateur}}{\text{volume combustible}}$
 
 \subparagraph{Les différents types de modérateurs}
\subparagraph{}

  \begin{tabular}{c | c | c}
Modérateur 		&  $^{m}\sigma_{c}	$	& Nb de chocs pour un neutron 1 MeV $\ra$ 1 neutron thermique \\
\hline
eau				& 0,66					& $\approx$ 20 \\
eau lourde $D_{2}0$	& 0,001		& $\approx$ 36 \\
$C$ (graphite)				& 0,034		& $\approx$ 115 \\
\end{tabular}

\section{Filières}

\subsection{Eau et Uranium naturel}
 $\frac{N_{f}}{N_{c}} = 0,74$, divergence impossible.
 
 \subsection{Eau lourde et Uranium naturel}
 $\frac{N_{f}}{N_{c}} = 1,15$, divergence possible, filière CANDU :
 
 CAN : Canada,
 D : eau lourd (Deutérium),
 U : Uranium.

\subsection{Carbone (graphite) et Uranium naturel}
 $\frac{N_{f}}{N_{c}} = 0,95 $, filière UNGG (il faut que les pertes soient inférieures à 10\%). C'est la pile de Fermi (1942).

\subsection{Eau et Uranium enrichi (à 2,5\% en $\n{U}{235}{92}$)}
$\frac{N_{f}}{N_{c}} = 2$ (90\% de la production d'électricité nucléaire mondiale)

Deux filières : filière REB ou BwR : réacteur à eau bouillante (Russie par ex.)

Filière REP (PwR) : réacteur à eau pressurisée.

\paragraph{Combustible neuf} U : 3,9\% d'$\n{U}{235}{92}$ et 96,8\% d'$\n{U}{238}{92}$

\paragraph{Au bout de trois ans} 95,7\% d'$U$ : 0,7\%  d'$\n{U}{235}{92}$ et 95\%  d'$\n{U}{238}{92}$ ainsi que 0,9\% de $Pu$ et des PF (3,4\%).

\section{Cinétique de la réaction en chaîne}
\subsection{Notations}

$$k =\frac{\textrm{nb de fissions à une génération donnée}}{\textrm{nb de fission à la génération suivante}} = \frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{N_{2}}{N_{3}}
$$

Variation relative :
$$ \rho = \frac{\delta N}{N} = \frac{N_{2}-N_{1}}{N_{1}} = \frac{1}{k} - 1 $$

Une réaction est soit :
\begin{itemize}
\item
critique : $k=1$
\item
surcritique : $\rho > 0$ soit $k < 1$
\item
sous critique : $\rho < 0$ soit $k > 1$
\end{itemize}

\subsection{Variation du nombre de fissions}

$\tau$ : temps entre 2 générations (25$\mu s$, soit 40 000 générations/s)

$$\frac{\deriv N}{\deriv t} = \frac{\delta N}{\delta t} = \frac{\rho N}{\tau}$$ 

$$N(t) = N_{0} \ex^{\frac{\rho}{\tau}t} $$

Si $\rho > 0 $ le nombre de fissions augmente exponentiellement

Si $\rho < 0 $ le nombre de fissions diminue exponentiellement

\subsection{Régime de fonctionnement}
\subsubsection{Objectif}

On souhaite se placer en régime critique $(k=1,\rho= 0)$

Avec $k=1,001$, le nombre de neutrons est multiplié par $2,3.10^{17}$ en 1s. Il faut donc être très précis dans la maîtrise de $k$.

\subsubsection{Contrôle du régime}

Il est impossible de contrôler le nombre de neutrons immédiats (prompts).
On se place alors en régime sous-critique avec les neutrons prompts.

Pour atteindre $k=1$ (régime critique) on agit sur les neutrons retardés ($\overline{\tau_{r}} = 13s$, on a le temps de les contrôler).

C'est l'action sur ces neutrons qui permet le contrôle et le pilotage du réacteur.
Pour cela on utilise des barres de contrôle (en Cadmium) ainsi que les \og poisons \fg{}{} (comme le Xénon, cf. \ref{poisons} page \pageref{poisons}).